Berechnung der Grenzflächenspannung aus Kraftmessungen an einem Ring
IMETER- Ringmethoden (YLP)

von T. Petzoldt und M. Breitwieser (2014-17, 2024-26)  

INHALT:  0  Aufbau  1 Kräftegleichgewicht am Fälchenelement  2 Differentialgleichung der Grenzflächenkontur  3 Numerische Berechnung der Grenzflächenkontur  4 Berechnung der Kraft  5 Messunsicherheit 6 Traditionelle Handhabung 7 Ringgröße und unendliche Oberfläche  8 Ringmethode ohne Schwerkraft 

Theorie der IMETER Ringmethoden M1/M2

0 Aufbau   (Ring-Tensiometer)

Ein zylindrischer Behälter befindet sich mittig positioniert mit Flüssigkeit gefüllt auf einer vertikal beweglichen Plattform. Zentral über dem Behälter ist der Kraftmesser (Wägezelle), an dem über eine Aufhängung der Drahtring (ein Volltorus) befestigt wird (Abb. 1).Der Ring besteht aus einem von der Flüssigkeit gut benetzbaren Material wodurch der Kontaktwinkel zwischen Ring und Flüssigkeit näherungsweise Null beträgt.Abb.1 - schematischer Aufbau der "Ringmethode" (IMETER)

Zunächst wird die Plattform angehoben, bis der Ring vollständig in die Flüssigkeit eingetaucht ist und danach wieder langsam soweit abgesenkt, bis die Oberkante des Rings die Grenzfläche genau berührt. Dieser Zustand wird als Nullreferenz (Nullniveau) für die nachfolgenden Weg- und Kraftmessungen benötigt.

Formelzeichen: A Fläche [cm²]; α Winkel [rad]; d Differentialbezeichner; D Intervall / Differenz; g Ober- bzw. Grenzflächenspannung [mN/m]; F Kraft [mN]; j Konturwinkel [rad]; g Schwerebeschleunigung [m/sec²]; K Krümmung [1/mm]; p Druck [Pa]; r radiale Länge, Radius [mm]; R Hauptkrümmungsradius [mm]; r Dichte [g/cm³]; s Bogenlänge [mm]; Q Kontaktwinkel an der Gefäßwand [rad]; z axiale Länge, Höhe [mm].

 1 Kräftegleichgewicht am Flächenelement

Für die Druckkraft, die auf ein sphärisch gekrümmtes, infinitesimales Flächenelement wirkt, gilt (Abb. 2):

dF = Δp·dA       1-1

Mit den beiden Radien in Richtung der Hauptkrümmungen kann für das Flächenelement geschrieben werden:

dA = R₁·dφ₁· R₂dφ₂        1-2

Entgegen der Druckkraft wirkt die aus der Grenzflächenspannung resultierende Kraft in Normalenrichtung zum Flächenelement wie folgt:

dF = γ· (R₁·dφ₁ · 2sin(dφ₂/2) + R₂·dφ₂ · 2sin(dφ₁/2))         1-3

  Abb. 2: Verbildlichung des grundlegenden Sachverhalts. 

Mit der Vereinfachung für infinitesimal kleine Winkel

2·sin(dφ/2) = dφ              1-4

können die beiden Kräfte ins Gleichgewicht gesetzt werden, wobei sich die Winkeltherme herauskürzen.

 γ· (R₁ + R₂) =  Δp·R₁·R₂  1-5

Die erhaltene direkte Beziehung zwischen Grenzflächenspannung und örtlicher Druckdifferenz wird mit den Krümmungen als Kehrwert des Krümmungsradius ausgedrückt.

K₁ = 1/R₁  ; K₂ = 1/R₂      1-6

γ·(K₁ + K₂) =  Δp             1-7

Der Ausdruck 1-7 entspricht der Young-Laplace-Gleichung. Das Produkt beider Krümmungen in Hauptkrümmungsrichtung wird auch als Gauß’sche Krümmung bezeichnet.

2      Differentialgleichung der Grenzflächenkontur

Die hydrostatische Druckdifferenz zwischen den beiden Phasen ist eine Funktion der Steighöhe z.

Δp = (z - z₀)·(ρ_F - ρ_G)·g     2-1

Die Höhenkoordinate z₀, bei der die Druckdifferenz zu Null wird, soll fortan zu Null gesetzt werden (Nullniveau).

Die Kontur der Grenzfläche bei der Messung mit der Ringmethode ist rotationssymmetrisch. Daraus folgt, dass die Ausrichtung der beiden Hauptkrümmungen an jeder Position radial/tangential ist.

Durch Einsetzen der Gleichungen 2-1, 2-2 und 2-3 in Gleichung 1-7 erhält man als Differentialgleichung mit der radialen Konturfunktion z(r):

         2 - 4 

Obwohl Gleichung 2-4 relativ unhandlich erscheint, kann mit den geeigneten Umformungen und dem Setzen von Startbedingungen ein numerisches Ergebnis iterativ erzielt werden.

Für die Bogenlänge s und den Steigungswinkel φ der Konturfunktion gilt:

Damit wird aus den Krümmungen

K_r =  dφ / ds         2 -7

K_t =  sin φ / r         2 -8

und in Gleichung 2 -4 eingesetzt.

γ·(dφ/ds + sin(φ)/r) = z·(ρ_F - ρ_G)·g        2-9

3 Numerische Berechnung der Grenzflächenkontur

Zunächst wird Gleichung 2-9 wie folgt umgeformt:

dφ/ds = z·(ρ_F - ρ_G)·g/γ  - sin(φ)/r         3 - 1

Die Wahl einer hinreichend kleinen Diskretisierungsschrittweite Δs stellt vom Rechenaufwand inzwischen kein Problem mehr dar.
Mit dem Festlegen zutreffender Anfangswerte r_Anf, z_Anf und φ_Anf ergibt sich der weitere Verlauf der Kontur aus den jeweils vorhergehenden Werten.

r_i+1 = r_i + Δs · cos φ_i      3 - 2

z_i+1 = z_i + Δs · sin φ_i      3 - 3

      3 - 4

Zur Nachbildung der Lamellenkontur bei Ringauszug (Messaufbau Abb.1) wird zunächst die innere Grenzfläche berechnet. Ausgehend von der Symmetrieachse gilt:

Der Parameter z_Anf wird dann solange variiert, bis die Konturkurve tangential innen an dem Drahtring anliegt (Abb. 3).

Die Anfangswerte für die äußere Grenzfläche ergeben sich aus der Randbedingung, dass die Konturkurve tangential außen am Drahtring anliegen muss. Dabei wird φ_Anf zum Iterationsparameter wodurch sich mit der Randbedingung r_Anf und z_Anf ergeben. Durch die Iteration wird dann φ_Anf so bestimmt, dass die Konturkurve die Behälterwand mit dem vorgegebenen Winkel schneidet (Abb. 3).

 Abb.3: Skizzen zur Beschreibung des mathematischen Vorgehen.  

4      Berechnung der Kraft am Ring

MIt der bekannten Kontur der Grenzfläche wird die resultierende Gesamtkraft am Ring bestimmt. Diese summiert sich aus drei Komponenten (Abb. 4).

Abb.4: (...) Konstruktion der Benetzungkraft, die bei Kontaktwinkel 0 zwischen Draht und Fluid tangential an der Ringoberfläche angreift.
  

Für die praktische Messung kann, dass kleine Auslenkungen aus der rotationssymmetrischen Anordnung kraftbedingt wieder in Koaxialität gezwungen werden können (Ringmittelpunkt = Gefäßmittelpunkt), vgl. Abb. 7.1.3.. Der Aufbau in typischen Proportionen korrigiert dann einen kleinen Mittelpunktsfehler selbst. 

Abb. 5 zeigt beispielhaft einen mit dem beschriebenen Verfahren berechneten Weg-Kraft Verlauf (mit den Daten zu Beispiel ①).

 Abb.5: 'Wasser' - gemäß YLP berechneter Weg-Kraft-Verlauf unter Einsetzung der Daten von "Beispiel ① IDN°23836  (Abb. -1, Abb.0. Weitere Besprechung in Kapitel 7: zu "Beispiel ①").

Aus der Grenzflächenkontur kann die absolute Oberfläche in guter Näherung berechnet werden. Die Summation der inkrementellen Kegelstumpf-Mantel-Oberflächen, die die Kontur abformt, ergibt die Schätzung für die gesamte freie Grenz/Oberfläche (A) aus der Summe der Oberflächen innerhalb des Rings (A_i) und außerhalb bis zur Gefäßwand (A_a). 

In Kapitel 8 wird der seltene Fall fehlender Schwerkraft (Mikrogravitation) und Gleichheit der Phasendichten behandelt, wodurch die Universalität der Methode vollständigt dargelegt ist.

 5 Messunsicherheit - Betrachtungen über die Empfindlichkeit der Eingangsgrößen

Eine Handreichung für wissenschaftliche Überprüfungen bietet das Dokument Beispiel ① Wasser_ID23836.pdf  (ID23836_Wasser_std_YLP_extended.pdf). Darin finden sich Mess- und Simulationsdaten zusammen- und gegenübergestellt. Die Daten dieser Messung dienen in den nachfolgenden Diagrammen als Eingangsdaten der Berechnung. In Kapitel 7.1 wird Beispiel ② Wasser_ID23844.pdf besprochen, bei dem Flüssigkeitspegel- und der Gefäßrand-Kontaktwinkel zur Messung konstant gehalten werden zur (Halb-)Simulation einer unendlichen Behälteroberfläche. Die beiden Messungen in den Beispielen wurden zeitlich sehr kurz aufeinander folgend und mit den selben Geräten ausgeführt.

Zur Untersuchung der Einflußgrößen werden die Daten aus dem Dokument Beispiel ① Wasser_ID23836.pdf verwendet. Berechnet wurde überschlagsmäßig die Präzisionsmöglichkeit der anzugebenden Oberflächenspannung unter Variation aller möglichen Größen und sogar des Ortsfaktors (g). So offenbaren die folgenden Diagramme, welche Oberflächenspannung angezeigt würde, wenn im Parametersatz der Lösungsgleichungen die Größenwerte mutieren. Die Abhängigkeit bzw. Empfindlichkeit der berechneten Oberflächenspannung von den unterschiedlichen Eingangsgrößen sind hilfreich zum Verständnis und unabdingbar für eine Messunsicherheitsbetrachtung.

Außer bei Gefäßparametern (R_Gef, θ) stellen sich die untersuchten Abhängigkeiten als gut linear dar. Insofern dürfen Abweichungen durch Kalibrierung mittels Standardflüssigkeit legal und so wie bisher in einem einzigen Korrekturfaktor untergebracht werden. Beim kalibrierten Messaufbau (...) bestimmt alleine die Auflösung der Kraft-Messung über die anzugebende Präzission der Oberflächenspannung. Um sicher zu sein, sollte eine Kalibrierung im näheren Wertebereich der Proben liegen. Neben den bekannten Messmethoden Oberflächenwellen, schwingende Strahlen, kapillare Steighöhe und hängende Tropfen (vgl.⇒♦Methoden) kommt nun die IMETER Ringmethode als Referenzmethode in Betracht (wie hier begründet). So kann die Grenzflächenspannung zwischen undurchsichtigen Fluiden richtig gemessen werden und es kann beispielsweise der Übergang von statischer zu dynamischer Oberflächenspannung messtechnisch untersucht werden.Die IMETER-Methode stellt sich als wissenschaftlich kohärente Methode dar, die die Oberflächenspannung als das misst, was sie dem Wesen nach ist -  eine Kraft. 

Der Vergleich von ab initio Berechnungen mit Exprerimentaldaten kann Fehler oder Unbekanntes aufzeigen. Messung und Berechnung befinden sich soweit erkennbar in widerspruchsfreier Übereinstimmung. Verschiedene Falsifikationen unter Variaton der Flüssigkeit und Ringdimensionen ergaben ebenfalls keine Widersprüche zwischen Theorie und Praxis. So liegt offenbar ein geeignetes Modell vor, das es erlaubt, eine Materie-Eigenschaft mit hoher Präzission zu bestimmen. Das ist umso bedeutender, weil die Wilhelmy-Platte zur OFS-Messung möglicherweise nicht so universell geeignet ist (vgl.♦Plattendickeneffekt bei Wilhelmy-Messungen).

6 Verbesserung der traditionellen Handhabung

 7 Ringgrößen und Pegelkonstanz bzw. unendliche Oberfläche

7.1 Messung der Oberflächenspannung bei "unendlicher Oberfläche" bzw. der spezielle Einfluß der Gefäßwand

Messung, Simulation und Vergleich der statischen Oberflächenspannung bei unendlicher Oberfläche durch Konstanthaltung von Niveau und Kontaktwinkel und Simulationsrechung für große Oberflächen:

 Abb.7.1.1: Messkurven zur Oberflächenspannung an Wasser. Messung mit und ohne Kontantwinkel-Konstanthalte-Verfahren und YLP-Berechnung mit RGef=21.5mm.Abb.7.1.2: Messkurven zur Oberflächenspannung an Wasser. Messung mit und ohne Kontantwinkel-Konstanthalte-Verfahren und YLP-Berechnung mit RGef=75mm.

Abb.7.1.1 und .2  zeigen jeweils zwei nahezu deckungsgleiche Kurven, die den Kraft- Wegverlauf beim Herausziehen eines DeNoüy-Ringes aus einer Wasseroberfläche wiedergeben. Die durchgezogene rötliche Linie markiert jeweil den theoretisch berechneten Kraftverlauf, die schwarzen bzw. blauen Punkte repräsentieren Kraftmesswerte zweier physischer Messung. Die Kurve der blauen Punkte, zeigt eine im Vergleich eine deutlich höher ausgezogene Lamelle und gehört zum Prüffall der unendlich ausgedehnten Oberfläche (A→∞). Hierfür wurde nämlich der Pegel im Gefäß während des gesamten Messvorgangs konstant gehalten; als ob die Oberfläche unendlich ausgedeht wäre. Normalerweise sinkt der Flüssigkeitsspiegel indem am herausgezogenen Ring eine Flüssigkeitsmenge gehoben wird.
Die YLP-Rechnung zur simulierten Gefäßgröße R_Gef=75 mm nähert den Werteverlauf der physischen Messung an, deutet aber an, dass sich der berechnete  Oberflächeneffekt vom Fall unendlicher Ausdehnung geringfügig unterscheidet (vgl. Abb.:7.1.2).
(Wir haben die unendliche Oberfläche mit YLP nicht berechnet - Ø150mm sind eine Annäherung)

Im PDF-Dokument Beispiel ② Wasser_ID23844.pdf findet sich die Dokumentation der Messung mit ausführlicher Aufarbeitung aller verfügbaren Daten. Dort ist auch das IMETER-Messprogramm abgedruckt, worin die Option der Pumpensteuerung zur Niveauregulierung beschrieben ist. Um eine unendlich ausgedehnte Oberfläche darzustellen bzw. für die physische Messung zu simulieren, wurde eine vom IMPro (=IMETER-Messprogramm) aus gesteuerte, µL-genau arbeitende Kolbenpumpe eingesetzt, um durch Zu- oder Abdosierung die hydrostatisch bewegten und gewogenen Volumen auszugleichen. Wie diese Technik im IMETER-Modulsystem funktioniert, ist auf der Seite "Kontaktwinkel-Konstanter-Verfahren" beschrieben. Im bereits referierten Dokument Beispiel ① Wasser_ID23836.pdf findet sich die gleiche Messung ohne Niveauautomatik dokumentiert.

 Abb.7.1.3 zeigt zwei den Messungen entsprechende Profilkurven übereinander geplottet, die vom letzten Iterationsschritt vor dem Lamellenabriß stammen. 

Abb. 7.1.3: Vergleich der Profilkurven mit und ohne Niveauautomatik. Das Diagramm zeigt die Profile kurz vor dem Lamellenabriss - also nach Überschreitung der Maxiamlkraft. Die Maximalkraft (Fmax) ist für beide Kalkulationen praktisch gleich und mit 9.2773 mN in der Messung ID23844 bestimmt und der Kalkulation vorgegeben. Die Messung ID23844 liefert mit YLP-OFS 71.97 mN/m den gleichen Wert wie das Ergebnis der Simulation mit dem tatsächlich eingesetzten Gefäß (Ø=43mm). Die Auszughöhe bis Fmax ist in der Messung (3.92mm) jedoch vergleichbar mit quasi 'unendlicher Oberfläche'  {Ø150mm}.
Zu konstatieren ist, dass die Bedeutung der Messkraft als Oberflächenspannung γ durch die Gefäßgröße wesentlich mitbestimmt wird.

Die Maximalkraft (Fmax) ist für beide Kalkulationen gleich und mit 9.2773 mN in der Messung ID23844 bestimmt und der Kalkulation vorgegeben. Die Bedeutung der Messkraft als Oberflächenspannung γ wird trotzdem durch die Gefäßgröße wesentlich modifiziert. So beträgt die Oberflächenspannung berechnet über die Differentialgleichung γ_Ø43 = 71,968 bzw. γ_Ø150 =72,297 mN/m. Die Berechnung für unendliche Oberfläche, also die YLP-Berechnung für ein Ø150mm-Gefäß, versagt also mit den unter Niveaukonstanz gemessenen Daten. Diese Daten ergeben (korrekte) 71.97 mN/m wenn in der Berechnung mit dem tatsächlich eingesetzten Gefäß (Ø=43mm) gemäß YLP kalkuliert wird. Gleichwohl die im Experiment bestimmte Ausziehhöhe zur Gefäßoberfläche ‚unendlich‘ (d.h. Ø=150mm) passt, wird die maximale Kraft am Ring durch Gefäßwandbenetzung und den tatsächlichen Wandabstand reduziert. 
Präzisionsmessungen sollten mit der Methode der Kontaktwinkel-Konstanthaltung bevorzugt durchgeführt werden, besonders dann, wenn rheologische Eigenschaften der zu messenden Flüssigkeit Kontaktwinkeleffekte hervorrufen könnten. Insgesamt sind miniaturisierte Auslegungen der Ringmethode für präzise Messungen zu bevorzugen, da Störeinflüsse durch die relativ stärker werdenen Kapillarkräfte zurückgedrängt werden. 

7.2 Verschiedene Ringgrößen mit/ohne Niveau- & Kontaktwinkelkonstanthaltung

Abb.9.2.1: Wasser: Variation Ringradius und Variation Oberfläche (Ø 43mm gegen 'unendliche' Gefäßweite) - Messkurven zur Oberflächenspannung an Wasser, mit Ringen Ø13, 20, 25mm, mit/ohne "Kontaktwinkel-Konstanthalte-Verfahren".Abb.9.2.2:IsoOktan: Variation Ringradius und Variation Oberfläche (Ø 43mm gegen 'unendliche' Gefäßweite) - Messkurven zur Oberflächenspannung an 2,4,4-Trimethypentan, mit Ringen Ø13, 20, 25mm, mit/ohne "Kontaktwinkel-Konstanter")

Die Diagramme zeigen Messkurven zur Oberflächenspannung mit Ringen der Radien 6.5, 9.6 und 12.5mm (Ø13, 20, 25mm). Dabei wurde abwechselnd auch das  "KontaktwinkelKonstanter-Verfahren" eingesetzt. (Die IMETER-Software berechnet bei Gefäß-Durchmesser Angabe eine gleitende Niveauverschiebung über die Kraft am Ring. Bei Oberfläche ∞ berechnet die Software die Niveauveränderung von Null ein. Die Kurvenverläufe mit bzw. ohne Niveauregulierung weichen in ihrer Bogenform leicht von einander ab, was der Effekt des angepinnten Kontaktwinkel zur Gefäßwand sein dürfte. - Die Kurvenvergleiche sind wegen des Antastverfahrens für das Nullniveau (IMPro) suboptimal)

In Abb. 7.2.1 zeigen zwei der mittleren Kurven (Standardring 20mm) Messpositionen, die über den Tangentenberührpunkt hinaus führen. Die Lamelle ist nicht in Erwartungshöhe abgerissen sondern wurde beträchtlich weiter ausgezogen. 

8 Die Ringmethode bei fehlendem Ortsfaktor   

Die Young-Laplace-Gleichung enthält die Schwerebeschleunigung g als formenden Parameter. Was passiert, wenn dieser Term verschwindet — sei es unter Mikrogravitation (g → 0) oder, gleichbedeutend, durch eine verschwindende Dichtedifferenz (Δρ → 0) zweier Fluide. Beide Fälle führen auf dieselbe vereinfachte Physik und sind sowohl mess­technisch als auch experimentell von Interesse.

Für eine axialsymmetrische Kontur mit der Bogenlänge s und dem Konturwinkel φ (Winkel der Tangente gegen die Horizontale) lautet das System:

dr/ds = cos φ ,     dz/ds = sin φ ,     dφ/ds = (Δp₀ − Δρ·g·z)/γ − sin φ/r    8 - 1

Darin ist dφ/ds die meridionale, sin φ/r die azimutale Hauptkrümmung; ihre Summe ist die doppelte mittlere Krümmung 2K_m. Die Druckdifferenz ist Δρ = ρ_F - ρ_G oder Phasendichteunterschied Δρ = ρ_Ph1 - ρ_Ph2. Die Entdimensionalisierung mit einer charakteristischen Länge L (etwa dem Ringradius R) liefert die Bond-Zahl (Bo), die das Verhältnis von hydrostatischer zu kapillarer Wirkung misst:  Bo = Δρ·g·L² / γ

Der Schwerkraftterm skaliert mit Bo. Der Grenzfall Bo → 0 wird gleichermaßen durch g → 0, durch Δρ → 0 oder durch L → 0 (Miniaturisierung) erreicht — alle drei Wege führen auf dieselbe Geometrie. 

8.1 Flächen konstanter mittlerer Krümmung

Für Bo = 0 entfällt der höhenabhängige Term, und mit der konstanten mittleren Krümmung K_m = Δp / (2γ) verbleibt: 

dφ/ds = 2K_m − sin φ/r    8 - 2

Die Lösungen sind die klassischen Flächen konstanter mittlerer Krümmung (Delaunay): Ebene, Sphäre, Zylinder, Katenoid, Unduloid und Nodoid. Die Grenzfläche wird nicht mehr vom Gewicht der gehobenen Flüssigkeit geformt, sondern allein von Filmspannung und Laplace-Druck - die Rückstellwirkung ist die Kapillarität selbst.

Mit dr = cos φ·ds besitzt die Gleichung ein exaktes Integral:

d(r·sin φ)/dr = 2K_m·r   ⇒   r·sin φ = K_m·r² + C    8 - 3

mit der Integrationskonstanten C. Die gesamte Konturgeometrie ist damit auf zwei Parameter (K_m, C) reduziert, die aus den Randbedingungen und der Volumenbedingung folgen. Die iterative Integration der Differenzialgleichung — unter Schwerkraft notwendig — entfällt vollständig.

8.2 Kraftfluss und seine geometrische Bedeutung

Der vertikale Kraftfluss durch einen horizontalen Schnitt beim Radius r setzt sich aus dem Vertikalanteil der Filmspannung und der Druckkraft auf die eingeschlossene Kreisfläche zusammen. Mit Δp = 2γK_m und dem ersten Integral folgt:

F(r) = 2πγ·r·sin φ − Δp·πr² = 2πγ·C = konstant     8 - 4

Die Konstante C einer Teilfläche ist damit unmittelbar die durch sie übertragene Kraft — die Messgröße des Tensiometers erhält eine exakte geometrische Bedeutung.

Die Fläche innerhalb des Messrings reicht von der Ringkontaktlinie (r = R) bis zur Achse. Regularität auf der Achse verlangt sin φ → 0 für r → 0; aus dem ersten Integral folgt zwingend C_i = 0 und damit:

sin φ_i(r) = K_m·r       8 - 5

Das ist exakt die Kugel mit dem Radius 1/K₀: Die Ring-Innenfläche ist in Mikrogravitation eine mathematisch exakte Sphärenkalotte — bei jeder Baugröße. Die unter Schwerkraft nur für kleine Bauformen näherungsweise gefundene Halbkugel ist Vorbote dieses exakten Grenzfalls. Die optische Konsequenz der Form ist bedeutsam: die Sphärizität der kapillaroptischen Fläche ist dann nicht mehr näherungsweise, sondern exakt — und unabhängig von der Apertur.

8.3 Korrekturfaktor und Maximalkraft

Die am Messring angreifende Vertikalkraft ist die Summe der Filmspannungs-Vertikalkomponenten an beiden Kontaktlinien. Beim Auszug versteilen sich die Konturwinkel; die Kraft durchläuft ihr Maximum bei φ → 90°. Im Grenzfall des großen Gefäßes gilt dann exakt:

F_max = 4π·γ·R   ⇒   f_k = 1      8 - 6

Für endliche Geometrien ist der Korrekturfaktor f_k = F_max/(4πγR) eine rein geometrische, exakt berechenbare Apparatekonstante - unabhängig von γ, Δρ und g, mithin fluidunabhängig. Die empirischen Korrekturfaktoren der klassischen Ringmethode (Harkins-Jordan u. a.) erweisen sich damit als reine Artefakte der Schwerkraft: in Mikrogravitation wird die Ringmethode zum Lehrbuchideal.

8.4 Oberflächenberechnung

Die weiter oben verwendete inkrementelle Summation von Kegelstumpf-Mänteln lässt sich durch die Guldinsche Regel (Satz von Pappus) ersetzen, die für jede Rotationsfläche exakt gilt:

A = 2π·∫ r ds = 2π·∫ r·√(1 + (dr/dz)²) dz    8 - 7

Für die Innenfläche (Sphärenkalotte, C_i = 0) wird das Integral geschlossen lösbar und liefert die exakte Kugelkalotten-Formel:

A_i = 2π·R_K²·(1 − cos φ_max)       8 - 8

mit dem Krümmungsradius R_K = 1/K_m. Für die Außenfläche (C ≠ 0) bleibt ein einzelnes (elliptisches) Integral, das numerisch mit beliebiger Genauigkeit und ohne Diskretisierungsfehler ausgewertet wird. Damit treten an die Stelle der drei Näherungsgleichungen eine exakte und eine quasi-exakte Beziehung — ein Gewinn an Klarheit wie an Genauigkeit. Im allgemeinen Fall (Bo > 0) bleibt die Guldinsche Form gültig; lediglich dr/dz folgt dann aus der vollständigen numerischen Lösung statt aus dem ersten Integral.

8.5 Gestörte Lagen und der Sonderfall Δρ → 0

Eine Beschleunigung unter einem Kippwinkel α zur Achse bricht die Axialsymmetrie; die Störung von Form und Kraft ist von der Ordnung Bo·sin α und damit für relativ sehr kleine Bauformen vernachlässigbar, für größere als metrologisch fundierte Beschleunigungs- und Lagesensorik nutzbar.

Da Bo sowohl mit g als auch mit Δρ skaliert, ist der schwerelose Grenzfall auf der Erde experimentell zugänglich: zwei nichtmischbare Fluide nahezu gleicher Dichte (Δρ → 0) bilden eine Grenzfläche, die sich verhält, als herrsche Schwerelosigkeit. Dies eröffnet ein bodengebundenes Modellsystem für die Untersuchung von Grenzflächen konstanter mittlerer Krümmung und ihrer Stabilität — und damit eine wohlfeile Vorstufe zu Experimenten unter realer Mikrogravitation.